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Haben Sie sich schon einmal gefragt, wie Ihr kleiner GPS-Empfänger eigentlich technisch seine Position bestimmt? Die Antwort bekommen Sie hier.

Positionsbestimmung durch Entfernungsmessung

Bei der Satellitennavigation geht der GPS-Empfänger anders vor als wir es in der klassischen Navigation mit dem Kompass tun: Beim Kompass peilt man mehrere (mindestens zwei) Punkte an, deren exakte Lage man kennt. Aus dem Winkel zwischen den beiden Punkten bestimmt man dann seine Position. Das GPS-Gerät peilt zwar auch mehrere bekannte Punkte an (nämlich die Satelliten), verwendet zur Positionsbestimmung aber nicht den Winkel, sondern die Entfernung zu diesen Punkten. Damit ist die Vorgehensweise und die Probleme zwar ähnlich, aber nicht genau gleich wie bei der Navigation über die Winkel. Aber eines nach dem anderen:

Woher kennt der GPS-Empfänger die Entfernung zu den Satelliten?

Jeder einzelne Satellit sendet fortlaufend eine ganze Reihe von Informationen, von denen für die reine Navigation folgende von Bedeutung sind: Die derzeitige Position des Satelliten und die exakte Uhrzeit, zu der er die Information abgesandt hat. Aus diesem Grund hat jeder Satellit eine Atomuhr an Bord, deren Genauigkeit um Größenordnungen höher liegt als die einer Quarzuhr. Angenommen, wir hätten für die Peilung ebenfalls eine Atomuhr zur Hand, dann könnte unser GPS-Gerät aus der Zeit zwischen dem Absenden der Information (die ja im Signal codiert ist) und der Ankunfszeit die Entfernung zum Satelliten bestimmen. Zugegeben, die Zeit, die das Signal benötigt, um zu uns zu kommen, ist nicht sehr groß: Es sind zwischen 0,067 und ca. 0,09 Sekunden (die Satelliten kreisen in einer Höhe von etwa 20.200 Kilometern, das führt bei der Lichtgeschwindigkeit von 3E8 m/s zu den genannten Verzögerungen, die in dem weiten Bereich liegen können, weil die Satelliten ja nicht immer genau senkrecht über einem stehen, sonder im Extremfall gerade eben über dem Horizont sichtbar sein können).

Bei der Genauigkeit von Atomuhren ist es kein Problem, derartige Zeitdifferenzen zu messen.

Diese Angaben reichen dann bereits, die unsere Position zu bestimmen: Da die Satelliten ja Ihren Standort mitgeschickt haben, und wir die Entfernung zu den beiden Satelliten kennen (mit der eben beschriebenen Methode), brauchen wir nur nach dem Ort zu fragen, der von den beiden Satelliten die bekannte Entfernung hat. Wenn man sich das Ganze zweidimensional vorstellt, dann sieht es so aus, wie auf dem nebenstehenden Bild.

Wie man dort sieht, gibt es zwei Punkte, die die uns bekannten Entfernungen zu den Satelliten haben - welcher von beiden ist unser Standort? Die Frage mag schwierig zu beantworten sein, wenn man rein gar nichts über seine Position weiß, aber wir haben ja einen wesentlichen Anhaltspunkt: Wir sind irgendwo auf der Erdoberfläche und nicht mitten im Weltraum. Auf diese Weise fällt einer der beiden Punkte schon aus, und wir wissen genau, wo wir sind: Nämlich auf dem einen Punkt, der auf der Erdoberläche liegt.

Auf die gleiche Weise können wir auch das Problem lösen, dass wir uns ja nicht im zwei- sondern dreidimensionalen Raum befinden: Im Raum gibt es einen ganzen Kreis, auf dem all die Punkte liegen, die die bekannten Entfernungen zu den Satelliten haben. Aber nur ein Punkt dieses Kreises liegt auf der Erdoberfläche. Folglich haben wir auch im dreidimensionalen Raum unseren Standort bestimmt - und das mit nur zwei Satelliten!

Vielleicht kennen Sie die Regel, nach der man die Entfernung zu drei Punkten kennen muss, um seine Lage im Raum bestimmen zu können? Widerspricht die Überlegung von eben nicht dieser Regel? Nein, tut sie nicht. Denn wir können den Erdmittelpukt als dritten bekannten Punkt im Raum auffassen, zu dem wir die Entfernung kennen (nämlich den Radius der Erde).

Positionsbestimmung durch Abstand zum Satelliten - Wenn man seinen Abstand zu einem Satelliten kennt, dann weiß man, dass man irgendwo auf einem Kreis sein muss, dessen Radius der gemessene Abstand ist (zumindest im zweidimensionalen Raum ist das so, und zur Veranschaulichung arbeiten wir ja auch zunächst nur in zwei Dimensionen). - Übrigens hat uns diese Grafik unser freundlicher Leser Mr. X erstellt, um nicht mehr unsere Strichelchen sehen zu müssen - vielen Dank dafür!


Woher kennt das GPS-Gerät die Uhrzeit?

Jetzt kommt aber leider noch ein kleines Problem, über das wir bisher einfach hinweggegangen sind: Wir haben ja gar keine Atomuhr in unserem GPS-Empfänger. Ohne die völlig exakte Zeit zu haben, wissen wir aber nicht, wie lange die Signale vom Satelliten bereits unterwegs waren und können somit auch nicht den Abstand zu ihnen errechnen. Die Idee, das Problem durch eine Quarzuhr zu lösen, ist leider zum Scheitern verurteilt: sie haben viel zu große Gangungenauigkeiten. Bei jeder Tausendstel Sekunde Gangabweichung würden wir unsere Positon um ca. 300 km falsch bestimmen. Selbst mit dem Quarzwerk einer Breitling-Uhr, die sich rühmt, 100 mal so genau zu sein wie normale Quarzuhren, würden wir durch die Gangungenauigkeit eines Tages immer noch um 100 km daneben liegen, selbst dann, wenn wir jeden Morgen penibel die Uhr synchronisieren würden.

Und dann bleibt noch die Frage, womit wir die Quarzuhr überhaupt synchronisieren sollten: Mit den Zeitsignalen der Atomuhr in Frankfurt am Main, die die Zeitsignale für die Funkuhren (z.B. an Bahnhöfen) sendet? Das wäre nur dann möglich, wenn die exakte Entfernung zu ihr bekannt wäre. Solange das nicht der Fall ist, können wir ebensogut eine ganz andere Atomuhr verwenden, nämlich die eines weiteren Satelliten.

Das hilft zwar auf den ersten Blick auch nicht sehr viel weiter, aber jetzt gibt es eine Überlegung, an die wir bisher noch gar nicht gedacht haben: Solange wir nur die Signale von zwei Satelliten auswerten, solange können wir ohne die exakte Uhrzeit irgendwo auf einer Verbindungslinie zwischen den beiden Satelliten sein (nun ja, eigentlich auf einer gekrümmten Oberfläche, da wir ja im dreidimensionalen Raum sind, aber vergessen wir das hier einfach einmal). Diese Verbindungslinie ist nicht gerade, sondern hat eine Krümmung. Wenn wir nun die Signale von drei Satelliten empfangen, dann können wir Paare aus jeweils zwei dieser drei Satelliten bilden und wissen, dass wir ohne Kenntnis des jeweils dritten Satelliten irgendwo auf der krummen Verbindungslinie sein müssen. Zusätzlich wissen wir aber auch, dass wir auf allen drei dieser krummen Linien gleichzeitig sein müssen - mit anderen Worten genau dort, wo sich alle drei Linien schneiden.

Somit können wir mit den Signalen von drei Satelliten unsere Position schon bestimmen. Einen Satelliten benutzen wir dann sozusagen als Atomuhr, die beiden anderen zur Lagebestimmung. Hinzunehmen müssen wir allerdings noch die Information darüber, dass wir irgendwo auf der Erdoberfläche sind.

Das Verhalten von GPS

Der Fall von eben wird dann 2D-Navigation genannt, weil wir die Erdoberfläche als gegeben annehmen und nur auf dieser Fläche navigieren. Wollen wir auch noch unsere Höhe bestimmen, dann brauchen wir noch einen vierten Satelliten; das Ganze wird dann zur 3D-Navigation.

Und jetzt wird auch einiges aus dem Verhalten von GPS-Geräten klar:

Es benötigt nach dem Einschalten immer eine gewisse Zeit, um wieder die Position zu ermitteln. Das Berechnen des Schnittpunktes aus den drei Verbindungslinien der Satellitenpaare ist ein recht komplizierter Rechenvorgang, der nur numerisch ausgeführt werden kann - das ist ein vornehmer Begriff für "ausprobieren". Der Computer im GPS-Gerät probiert sehr viele mögliche Punkte durch, bis er einen gefunden hat, der mit allen empfangenen Signalen vereinbar ist. Das dauert natürlich umso länger, je länger keine Position mehr bestimmt wurde, weil dann die eingebaute Quarzuhr eine größere Gangungenauigkeit aufweist. Und es dauert auch dann länger, wenn wir uns weit vom letzten gemessenen Ort entfernt haben, weil dann in einem viel größeren Bereich probiert werden muss.

Es erklärt auch, wieso ein Navigationsgerät erst eine 2D-Position anzeigt, bevor auch die 3D-Bestimmung kommt: Zunächst wird die Information von drei Satelliten ausgewertet, um die Gleichungen zu lösen, erst dann kommt der vierte dazu.

Noch ein paar Besonderheiten...

Die Verwendung von genauen Atomuhren klingt zunächst einmal harmlos. Aber sie sind so genau, dass man gelegentlich sogar eine "Schaltsekunde" einbauen muss, weil die Bewegung der Erde unregelmäßiger ist als der Gang der Uhr. Eine Atomuhr hat in 30 Mrd. Jahren nur etwa eine Sekunde Gangabweichung - was natürlich ein rein rechnereischer Wert ist, denn das Universum ist nach derzeit gültiger Ansicht erst 13,7 Milliarden Jahre alt.

Übrigens hat der Physik-Nobelpreisträger des Jahres 2005, Theodor W. Hänsch vom Max-Planck-Institut für Quantenoptik, seinen Nobelpreis genau dafür bekommen, dass er die Grundlagen für die Atomuhren geschaffen hat, die erst eine so exakte Zeitmessung möglich machen.

Aber trotz dieser Genaugkeit kommt ein anderer Effekt hinzu, den man im Alltag nicht kennt - der hier aber beginnt, eine Rolle zu spielen: Wenn man zwei derartige Uhren in zwei Flugzeuge stellt und in unterschiedlichen Richtungen davonfliegt, dann zeigen sie nach einiger Zeit unterschiedliche Werte an, weil der Effekt der Relativitätstheorie zum Tragen kommt, nach der die Zeit vom Bezugssystem abhängt. Die statische Genauigkeit hilft also nicht so viel, wenn allein die Beweung der Satelliten im Raum schon die realtive Zeit verändert. Wobei es aber immer noch für eine Positionsbestimmung auf wenige Meter genau genügt.

Schlimmer ist da schon, dass der Betreiber des Satelliten-Systems ein Störsignal auf die Signale legen kann, die nur er selber wieder herausrechnen kann, da nur er den Schlüssel dafür kennt. Da das überwiegend verwendete System das von den Amerikanern für militärische Zwecke eingerichtete System ist, kann diese Störung in Fällen eines Krieges jederzeit wieder heraufgesetzt werden. Dann sind wir wieder dort, wo wir noch vor nicht allzu langer Zeit waren: Noch vor wenigen Jahren konnte man seine GPS-Position nur auf ca. 30 Meter genau bestimmen - nicht etwa, weil damals die Technik schlechter war, sondern weil die überlagerte Störung größer war.

GPS-Links

Hier eine interessante Seite zu GPS und allem, was dazugehört - endlich mal ein Ort, an dem wirklich erklärt wird, wie GPS funktioniert und nicht nur das oberflächliche Blaba, das man sich auch selbst hätte denken können: www.kowoma.de

Eine Grundidee zu den mathematischen Grundlagen des GPS (einschließlich einiger interessanter Literaturangaben) befindet sich auf der Seite von Heinrich Abel.

Eine englischsprachige Seite mit jede Menge technischer Angaben ist hier.


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